Solvency II solvency capital requirement for life insurance companies based on expected shortfall

[kwoongbae]

• https://link.springer.com/article/10.1007/s13385-017-0160-4
• Boonen, T. J. (2017).
• Citation: 48

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Introduction

현재 Solvency II는 VaR_{99.5%}를 사용하고 있음.

• EIOPA에서는 1년 단위, 신뢰수준 99.5%의 VaR를 기반으로 SCR를 계산
• 이는 200년에 1번 꼴로 VaR 손실 수준을 초과한다는 의미임.

하지만 VaR은 아래의 문제점이 존재

• the VaR is criticized for not being sub-addictive
• not consider the shape of the tail beyond the confidence level
• does not consider the worst case scenarios

따라서 가장 인기있는 coherent risk measure는 expected shortfall (ES)임.

• 현재 SST와 Basel III에서 ES를 사용하고 있음.

본 논문의 contribution

• VaR말고 ES를 사용했을 때 세가지 주요 위험 (equity risk, interest rate risk ,and longevity risk)에 미치는 영향력 분석
• 모든 SCR이 empirical stress scenario를 통해 결정되었을 때 변화

본 논문의 결과

• 99% 신뢰수준의 ES를 사용하게 되면 SCR를 늘릴 수 있다.
• ES를 사용하게 되면 longevity SCR은 상대적으로 커지고 equity SCR은 상대적으로 작아짐.

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Risk measures to calibrate solvency capital

VaR이란

• $VaR_{\alpha}(X) = inf( x \in \mathcal{R} : P(X>x) \leq 1-\alpha )$

ES란

• expected shortfall
• $ES{\alpha}(X) = \frac{1}{1-\alpha} \int{\alpha}^{1} VaR_{\tau} d \tau$
• 하지만 위의 식은 integral이 수렴하지 않으면 ES는 무한대가 되어버림.
• 따라서 본 논문은 아래 식으로 ES를 정의함.
• $ES{\alpha}(X) = E(X | X \geq VaR{\alpha}(X))$

ES와 VaR간의 차이점

• ES는 최악의 케이스에 대한 사이즈도 고려하는 반면, VaR은 quantile만 고려함.
• quantile은 worst case events에 대한 빈도만 고려하지만, ES는 빈도와 사이즈 둘 다 고려함.
• 그러기 때문에, ES를 통한 해석은 간단하지 않음.
• 또한 ES가 VaR보다 리스크에 더 민감하기 때문에 ES가 VaR보다 더 낫다라고는 확정지어서 말하지 못함.
• 따라서 본 논문은 단순히 두 measure를 solvency II에 적용했을 때 그 결과를 비교하는 것이 목적임을 밝힘.

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Solvency II

본 논문은 solvency 2의 정량적 분석에 맞춰 진행

• first pillar: quantitative requirements
• SCR에 대한 분석을 진행하였으며, SCR은 standard formula와 internal model, 아니면 두 개를 같이 고려하여 계산됨 (supported by Quantitative Impact Studies)

리스크 마진을 통한 부채 예측을 진행.

• 자산은 자본과 부채로 구성됨.
• 자산은 market-consistent한 기준으로 평가가 가능한 반면, 부채에 대한 현금흐름은 예측이 어려움.
• QIS5는 부채 평가시, best estimate와 risk margin을 사용하도록 규정함. 이때 리스크 마진은 보험 부채의 수명기간동안, SCR과 동일한 양의 자금을 보유하는데 드는 비용을 의미.
• SCR은 보험사의 기본고유자금의 $VaR_{99.5}$ (1-year)와 일치해야함.
• SCR의 standard formula는 여러 리스크모듈로 나뉘어지며, 사전정의된 SCR간 상관계수 행렬을 통해 total SCR를 산출함.

본 논문에서는 3가지의 리스크만 고려

• equity risk, interest rate risk (market risk), longevity risk (life risk)
• 
• market risk와 life risk가 전체 생명보험사의 basic SCR의 91.1%를 차지함.

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Methodology

4.2 Matching the total SCR value

VaR, ES 각각에 대한 stress scenario를 진행

• relative impact on the SCR for the three risk classes