简单整理数学体系

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意图:

• 女儿学习需要
• 深度学习需要

Mathematics - Wikipedia

Mathematics (from Ancient Greek μάθημα; máthēma: 'knowledge, study, learning') is an area of knowledge that includes such topics as numbers (arithmetic and number theory),[1] formulas and related structures (algebra),[2] shapes and the spaces in which they are contained (geometry),[1] and quantities and their changes (calculus and analysis).[3][4][5] One whose occupation involves the pursuit or study of mathematical truths or objects is known as a mathematician.

Level 1

从"功能"角度出发可以分为如下主题:

• Number theory (数论)
• Geometry (几何)
• Algebra (代数)
• Calculus and analysis (微积分和分析)
• Discrete mathematics (离散数学)
• Mathematical logic and set theory (数理逻辑和集合论)
• Applied mathematics (应用数学)
• Statistics and other decision sciences (统计学和其他决策科学)

但我非常喜欢wikipedia定义的划分角度:

• Quantity (number theory): 数量, 对应的是"数论": Natural numbers (自然数, 1, 2, 3), Integers (整数, 增加0, -1, -2), Rational numbers (有理数, 增加1.21这样的小数), Real numbers (实数, 增加pi无理数), Complex numbers (复数, i, -2+3i), Infinite cardinals (超限数)
• Structure (algebra): 结构, 对应的是代数: 个人理解代数就是用符号(变量)代替具体数字, 不再研究具体数字, 而是研究各种抽象化的结构, 比如f(x)=x+1, 我们并不关心具体x到底是几, 而是关心f这个模型的结构。这里包括了Combinatorics(组合数学), Number theory(数论), Group theory(群论), Graph theory (图论), Order theory (序理论), Algebra(代数),
• Space (geometry): 空间, 对应的是几何: 空间的研究源于几何学--尤其是欧几里得。三角学则结合了空间及数, 且包含了著名的勾股定理。现今对空间的研究更推进到了更高维的几何、非欧几里得几何及拓扑学。数和空间在解析几何、微分几何和代数几何中有着很重要的角色。具体包括: Geometry(几何), Trigonometry(三角学), Differential geometry(微分几何), Topology(拓扑学), Fractal geometry(分形), Measure theory(测度论)
• Change (mathematical analysis): 变化, 对应的是数学分析: 了解及描述变化在自然科学里是一普遍的议题，而微积分学更为研究变化的有利工具。函数诞生于此，做为描述一变化的量的核心概念。对于实数及实变函数的严格研究为实分析，而复分析则为复数的等价领域。包括: Calculus(微积分), Vector calculus(矢量分析), Differential equations(微分方程), Dynamical systems(动力系统), Chaos theory(混沌理论), Complex analysis(复分析)

大体可以分为以下3类:

• Pure mathematics (纯粹数学, 纯数学): 包括数量, 结构, 空间, 变化。
• Applied mathematics (应用数学): 应用数学思考将抽象的数学工具运用在解答科学、工商业及其他领域上之现实问题。主要包括: 统计学, 统计学, 计量金融, 生物数学, 物理数学, 数值分析等。
• Discrete mathematics (离散数学): 是数学的几个分支的总称, 研究基于离散空间而不是连续的数学结构。主要包括: 数理逻辑, 集合论, 信息论, 数论, 组合数学, 图论, 抽象代数, 理论计算机科学, 拓扑学, 运筹学, 博弈论等。

现代数学有数不清的分支，但是，它们都有一个共同的基础——集合论——因为它，数学这个庞大的家族有个共同的语言。集合论中有一些最基本的概念：集合(set)，关系(relation)，函数(function)，等价 (equivalence)，是在其它数学分支的语言中几乎必然存在的。对于这些简单概念的理解，是进一步学些别的数学的基础。我相信，理工科大学生对于这些都不会陌生。

在集合论的基础上，现代数学有两大家族: 分析(Analysis)和代数(Algebra)。

• 代数(Algebra)包括了初等代数、抽象代数(abstract algebra)和线性代数(linear algebra)。
• 分析(Analysis)则是建立在极限(limits)的基础上, 最主要的就是微积分的研究。

事实上, 对于CS来说, 也恰恰就是线性代数和微积分这两个概念。

以吴军"数学通识50讲"模块划分为例:

• 模块一: 数学的线索： 毕达哥拉斯定理、黄金分割、数列和级数等
• 模块二: 数的概念: 鸡兔同笼、方程、虚数、无穷等
• 模块三: 几何学: 公理体系、非欧几何、解析几何等
• 模块四: 代数学: 函数、线性代数
• 模块五: 微积分: 微分、积分
• 模块六: 概率、统计、博弈论: 伯努利实验、泊松分布、高斯分布、贝叶斯公式、零和博弈等
• 模块七: 数学的基础作用

1-5年级

• 一年级: 100以内加减法
• 二年级: 乘法和除法，认识角与直角，正方体和长方体(仅7页)，三位数的加减法
• 三年级: 乘法和除法(2)、时间的初步认识(年月日)，分数的初步认识，几何(18页，三角形，面积，长方形与正方形面积和周长),
• 四年级: 数与量(长度、面积、重量、体积)，分数的初步认识(2)，整数的四则运算，几何初步(13页，圆、线段、射线、角)，小数的加减法，统计(简单)，几何(垂直和平行)
• 五年级: 小数乘除法，统计(平均数), 简易方程，几何(平行四边形，三角形，梯形)，整数和负数，几何(正方体和长方体的体积)，可能性

五年级第二学期最后的总复习整理了1-5年级的内容:

• 数与运算: 整数、分数和小数的四则运算，运算定律和性质，量的计量(长度、面积、体积、质量和时间)
• 方程与代数: 二元一次方程
• 图形与几何: 线和角，基本图形 (长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、长方体、正方体)
• 统计初步: 收集、整理、呈现和简单的图表分析

小结:

• 以运算为基础，辅以初步的方程和几何图形。

6-9年级

• 六年级: 数的整除 (因数和倍数), 分数的运算，比和比例，圆和扇形，有理数，一次方程(组)和一次不等式，长方体
• 七年级: 整式和分式、图形的运动(平移、旋转和翻折)，实数、三角形，直角坐标系
• 八年级: 二次根式，一元二次方程，正反比例函数，几何证明，一次函数，代数方程，四边形，概率初步
• 九年级: 相似三角形，二次函数，圆与正多边形，统计初步

小结:

• 几何大幅上升，以方程和几何为主。
• 八年级是一个转折，难度斜率一下子拉升，如果前期不做好准备，一定被坑。

10-12年级

• 十年级: 集合与命题，不等式，函数 (幂函数、指数函数、对数函数、三角函数)
• 十一年级: 等差等比数列，线性代数 (向量、矩阵)、算法初步，曲线、复数
• 十二年级: 空间直线与平面，简单几何体，排列组合与二项式定理，概率初步(古典概率，频率与概率)，基本统计方法 (总体和样本，抽样)

小结:

• 进入正题，难度和强度都上来了，各类复杂函数和几何图形。

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大概7个方面:

• 概念
• 计算
• 方程
• 函数
• 几何
• 概率
• 统计

下一步行动: 通过中考高考试卷反推各类占比。

高等数学

• 待补充