运用递归解决二叉树相关问题

在之前的章节中，我们已经介绍了如何解决树的遍历问题。我们也已经尝试过使用递归解决树的为 前序遍历 、 中序遍历 和 后序遍历 问题。

事实上，递归是解决树相关问题的最有效和最常用的方法之一。本节中，我们将会介绍两种典型的递归方法。

解决方案

本小节内容节选自 LeetCode：运用递归解决树的问题 .

递归是解决树的相关问题最有效和最常用的方法之一。

我们知道，树可以以递归的方式定义为一个节点（根节点），它包括一个值和一个指向其他节点指针的列表。递归是树的特性之一。因此，许多树问题可以通过递归的方式来解决。对于每个递归层级，我们只能关注单个节点内的问题，并通过递归调用函数来解决其子节点问题。

通常，我们可以通过 自顶向下 或 自底向上 的递归来解决树问题。

“自顶向下” 的解决方案

自顶向下 意味着在每个递归层级，我们将首先访问节点来计算一些值，并在递归调用函数时将这些值传递到子节点。所以 自顶向下 的解决方案可以被认为是一种 前序遍历。具体来说，递归函数 top_down(root, params) 的原理是这样的：

1、在null值的情况下返回指定的值；
2、如果有必要，更新answer;
3、left_ans = top_down(root.left, left_params)；
4、right_ans = top_down(root.right, right_params)；
5、如果有必要返回answer。

“自底向上” 的解决方案

自底向上 是另一种递归方法。在每个递归层次上，我们首先对所有子节点递归地调用函数，然后根据返回值和根节点本身的值得到答案。这个过程可以看作是 后序遍历 的一种。通常， 自底向上 的递归函数 bottom_up(root) 为如下所示：

1、在null值的情况下返回指定的值；
2、left_ans = top_down(root.left, left_params)；
3、right_ans = top_down(root.right, right_params)；
4、返回answer。

例题

1、二叉树的最大深度

题目描述

解题思路及实现

1、自顶向下

class Solution {
  private int answer = 0;

  public int maxDepth(TreeNode root) {
      max_depth(root, 0);
      return answer;
  }

  private void max_depth(TreeNode root, int depth) {
      if (root == null) return;

      if (root.left == null && root.right == null) {
          answer = Math.max(depth, answer);
          return;
      }

      max_depth(root.left, depth + 1);
      max_depth(root.right, depth + 1);
  }
}

2、自底向上

class Solution {

  public int maxDepth(TreeNode root) {
      return max_depth2(root);
  }

  private int max_depth2(TreeNode root) {
      if (root == null)
          return 0;

      int leftDepth = max_depth2(root.left) + 1;
      int rightDepth = max_depth2(root.right) + 1;
      return Math.max(leftDepth, rightDepth);
  }
}

2、对称二叉树

题目描述

解题思路及实现

这道题笔者的思路是迭代，后来发现非常困难，看了题解才发现，将同一个树作为2次参数分别放入递归函数进行递归，确实是一个很棒的思路。

class Solution {

    public boolean isSymmetric(TreeNode root) {
        return isMirror(root, root);
    }

    private boolean isMirror(TreeNode t1, TreeNode t2) {
        if (t1 == null && t2 == null) return true;
        if (t1 == null || t2 == null) return false;

        return t1.val == t2.val && isMirror(t1.left, t2.right) && isMirror(t1.right, t2.left);
    }
}

3、路径总和

题目描述

解题思路及实现

比较简单，标准的dfs进行递归：

class Solution {

  public boolean hasPathSum(TreeNode root, int sum) {
      return dfs(root, 0, sum);
  }

  private boolean dfs(TreeNode root, int currentSum, int target) {
      if (root == null) {
          return false;
      }
      int sum = currentSum + root.val;

      if (root.left != null || root.right != null) {
          return dfs(root.left, sum, target) || dfs(root.right, sum, target);
      } else {
          return sum == target;
      }
  }
}

参考 & 感谢

文章绝大部分内容节选自LeetCode，概述：

https://leetcode-cn.com/explore/learn/card/data-structure-binary-tree/3/solve-problems-recursively/11/

例题：

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