Parte 1: Introdução

[rafaelcorreiapoli]

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• [x] apresentar trabalhos relacionados
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[fabianoshimura]

RESUMO: Este trabalho tem sua motivação analisar o comportamento das soluções das equações de Lorenz (E. N. Lorenz, Journal of Atmospheric Sciences, 1963) através dos conhecimentos adquiridos na disciplina MAP3122 - MÉTODOS NUMÉRICOS E APLICAÇÕES, lecionada pelo prof. dr. Alexandre Roma na Escola Politécnica da USP em 2016. Vamos utilizar dois métodos de aproximação numérica (Euler explícito e Runge-Kutta Clássico), bem como a construção de um gráfico pelo método de Spline Cúbica, obtido pela construção das tabelas para a avaliação dos resultados.

[fabianoshimura]

PALAVRAS CHAVE: Efeito Borboleta, Atrator de Lorentz, Método de Euler Explícito, Método de Runge-Kutta Clássico, Spline Cúbica

[fabianoshimura]

INTRODUÇÃO Lorenz estava questionando a fundamentação teórica dos métodos de previsão do tempo da época, baseados em regressão linear. Na sua opinião o fenômeno do tempo é demasiado não linear para que tais métodos possam dar resultados consistentes. Para testar a sua tese, comparou numericamente diversos métodos aplicados a certos modelos simplificados.

A complexidade do modelo era um aspecto crítico dos experimentos, porque os computadores da época eram lentos. Lorenz dispunha de um Royal McBee LGP-30 com 16k de memória interna, capaz de realizar 60 multiplicações por segundo. Para um sistema de doze equações diferenciais, cada passo da integração numérica tomava 1 segundo. Após diversas tentativas, Lorenz acabou adotand um modelo com 3 equações introduzido por B. Saltzmann, que veio a ser chamado sistema de Lorenz. Esse modelo é uma simplificação do modelo de Rayleigh. Tais equações serão o modelo estudado no escopo deste trabalho.

Para acelerar os cálculos, Lorenz imprimia os resultados com apenas 3 dígitos decimais, embora os calculos fossem realizados com 6 dígitos. Em algum momento reintroduziu um resultado como novo dado inicial. Para sua surpresa, o novo cálculo divergia do anterior: as previsões para 4 dias mais tarde eram totalmente distintas. Inicialmente, Lorenz acreditou que isso se devia a falha mecânica. As consequências desta descoberta de que o modelo é sensitivo aos dados iniciais foram profundas. A ideia de sensitividade não era nova. Já J. C. Maxwell havia observado no século 19 que “as mesmas causas produzem os mesmos efeitos” não significa que “causas próximas produzem efeitos próximos”. A comunidade científica havia apelidado este efeito de Efeito Borboleta. Alguns anos depois (1971), D. Ruelle e F. Takens estavam questionando a interpretação matemática do fenômeno de turbulência predominante na época. E. Hopf e, posteriormente, L. Landau e E. Lifshitz haviam sugerido que turbulência corresponde a existência de toros invariantes de grande dimensão no espaço de configurações do fluido. Ruelle e Takens demonstraram que esse modelo não tem sustentação matemática. Em troca, propuseram que turbulência deve corresponder a existência no espaço de configurações de algum "atrator estranho". Um atrator é uma região do espaço de configurações que fica invariante quando o tempo passa e que atrai muitas (ou até todas as) configurações próximas. Ruelle e Takens não definiram "estranho", nem conheciam bons exemplos. De fato, o sistema de Lorenz era um exemplo espetacular dessa noção. E atrator estranho acabou significando um atrator tal que as trajetórias que convergem para ele dependem sensitivamente do ponto inicial. Mas o trabalho de Lorenz ainda era mal conhecido, e Ruelle e Takens só tinham como exemplos os atratores hiperbólicos de Smale.

Um dos aspectos mais surpreendentes desta construção é que ela é robusta: se modificarmos ligeiramente o fluxo, continua existindo um atrator. Isto é ainda mais surpreendente porque o atrator contém um ponto estacionário, acumulada por trajetórias não estacionárias. Parecia que esse fenômeno deveria pode ser destruído por modificações do fluxo. Acreditava-se que os atratores robustos teriam que ser hiperbólicos. Este fenômeno de Lorenz mostrou que o problema de compreender o que faz um sistema dinâmico ser robusto é especialmente sutil para sistemas com tempo contínuo (fluxos).

Continuava em aberto saber se as equações originais de Lorenz realmente têm um atrator estranho. Isso foi resolvido em 1998 por W. Tucker (Suécia), que provou Teorema [W. Tucker]: As equações de Lorenz admitem um atrator estranho para os valores dos parâmetros originalmente considerados por Lorenz.

[rafaelcorreiapoli]

Essa parte de PALAVRAS CHAVE coloca aonde ?

[fabianoshimura]

Pode colocar embaixo do resumo mesmo