[Foglio 12] Esercizio 2

[Elia-Belli]

[Elia-Belli]

$W$ è un sottospazio se:

• La somma di due vettori $x,x'\in W$ si trova in $W$: sappiamo che $x_1+x_2+x_3=0$ e $x_1'+x_2'+x_3'=0$, la somma di $x+x'$ è il vettore $(x_1+x_1',x_2+x_2',x_3+x_3')$, osserviamo che per commutatività $x_1+x_1'+x_2+x_2'+x_3+x_3'=x_1+x_2+x_3+x_1'+x_2'+x_3'=0+0=0\Rightarrow x+x'\in W$
• Il prodotto di un vettore $w\in W$ per uno scalare si trova in $W$: quindi $\lambda\cdot x=(\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3)$, osserviamo che per distributività $\lambda x_1+\lambda x_2+\lambda x_3=\lambda (x_1+x_2+x_3)=\lambda \cdot 0=0$, allora $\lambda x\in W$. Abbiamo verificato che $W\leq \mathbb{R}^3\ \square$

$dim\ W=2$ e una sua base è:

$$\mathcal{B}(W)=\Bigg( \begin{pmatrix}1\ -1\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\ 0\ -1\end{pmatrix}\Bigg)$$

[CiottoloMaggico]

Analogo @Elia-Belli con ragionamenti punto due

[Elia-Belli]

Soluzione Ufficiale