[Esercitazione 6 Dicembre 2023] Esercizio 1

[Elia-Belli]

Esercizio 1. Si consideri il sistema omogeneo di 4 equazioni in 5 incognite

$$\begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_5=0\ x_1-x_2+x_4+x_5=0\ x_1-x_3-x_5=0\ x_1+2x_2+5x_3+3x_5=0\end{cases}$$

Sia $\Sigma_0$ l'insieme delle soluzioni. Determinare una matrice $A$ tale che $\Sigma_0=Ker\ A.$ Applicare il metodo di Gauss e determinare un sistema omogeneo a scala $S\underline x=\underline 0$, equivalenete al sistema dato. Determinare una base per il sottospazio $W$ uguale allo Span delle colonne di $S$ . Determinare una base per $Im\ L_S$ . Determinare una base per $\Sigma_0$ : più precisamente determinare $l\in \mathbb{N}$ e vettori $\{w_1,...,w_l\}$ in $\mathbb{R}^5$ linearmente indipendenti tali che $\Sigma_0=Span(w_1,...,w_l)$. Determinare una base per il sottospazio uguale allo Span delle colonne di $A$.

[Elia-Belli]

Soluzione Ufficiale

[CarloDaRomadev]

Ho un dubbio riguardo il punto 3 e tutte le richieste analoghe che ci sono nei vari fogli di esercizi, posso determinare "a occhio" una base senza sapere la Dim del sottospazio?

[CiottoloMaggico]

@CarloDaRomadev per quanto riguarda il punto 3 sai che Im(S) = span("colonne di S"), ma queste colonne non sono per forza tutte linearmente indipendenti. Prendendo le colonne dove appaiono i pivot ti assicuri di prenderle linearmente indipendenti. In realtà potresti anche prendere le colonne non pivot è trovare una combinazione di vettori non linearmente dipendenti. La dim del Lemma 6.1 pag. 108 fa capire il concetto abbastanza bene.

[CarloDaRomadev]

@CiottoloMaggico mi riferivo al punto che chiede di trovare la base del sottospazio W

[CiottoloMaggico]

@CarloDaRomadev Il sottospazio W è Im(S) o Im(Ls). Ls : R^n -> R^m è per definizione lo span delle colonne di S.

[CarloDaRomadev]

@CiottoloMaggico ho capito, quando mi chiede di trovare una base di W, prendo i vettori dove compaiono i pivot perché sono tra loro L.ind.

[CarloDaRomadev]

@CiottoloMaggico effettivamente così non li trovo a "occhio"

[CiottoloMaggico]

@CarloDaRomadev in queste cose niente è ad "occhio" ahahahah

[CarloDaRomadev]

@CiottoloMaggico esatto, per questo chiedevo, grazie Federì