[Foglio 11] Esercizio 1

[Elia-Belli]

[cornflexxx]

Per ipotesi sappiamo che $v_1,...,v_k$ sono linearmente indipendenti, quindi presi $\lambda_1,...,\lambda_k\in\mathbb{R}$ con $\lambda_i\neq 0\quad\forall$ $i$, la combinazione lineare con i $\lambda_i$ è sempre diversa da $0$: $$\lambda_1v_1 +...+\lambda_kv_k\neq 0\qquad (I)$$

Prendiamo ora $w_j=c_jv_j\$ con $j=1,...,k$, sappiamo che $c_j\in \mathbb{R}$ , $c_j\neq 0$ $\forall j$, riscriviamo la combinazione dei $w$ con i $\lambda$ come nella $(I)$: $$\lambda_1w_1+...+\lambda_kw_k\neq 0$$ Sappiamo che $w_j=c_jv_j$ , quindi possiamo usare la proprietà associativa del prodotto e riscriverla nel seguente modo: $$(\lambda_1c_1)v_1+...+(\lambda_kc_k)v_k\neq 0$$ Chiamo $\zeta_j=\lambda_jc_j$ , $\zeta_j\in\mathbb{R}$ ($\mathbb{R}$ chiuso rispetto al prodotto), $\zeta_j\neq 0$ in quanto prodotto di numeri diversi da 0. Riscriviamo sostituendo $\zeta$: $$\lambda_1w_1+...+\lambda_kw_k=\zeta_1v_1+...+\zeta_kv_k\neq 0\qquad (II)$$

Data l'indipendenza per ipotesi l'indipendenza di $v_1,...,v_k$ allora la $(II)$ è dimostrata.

[CarloDaRomadev]

[Elia-Belli]

Soluzione Ufficiale

[CiottoloMaggico]