[Foglio 10] Esercizio 4

[Elia-Belli]

[Elia-Belli]

Soluzione confermata in classe

(1) Se $A$ invia $0$ allora $\mu=-2$ e $X=-2+Z$, con $Z\sim \mathcal{W}(0,1)$

$$\mathbb{P}(B\ decodifica\ 1|A\ invia\ 0)=\mathbb{P}(X\geq 0.5)=1-\mathbb{P}(X\lt 0.5)=1-\mathbb{P}(Z\lt 2.5)=^{(tavola)}1-0.9938=0.0062$$

(2) Se $A$ invia $1$ allora $\mu=2$ e $X=2+Z$, con $Z\sim \mathcal{W}(0,1)$

$$\mathbb{P}(B\ decodifica\ 0|A\ invia\ 1)=\mathbb{P}(X\lt 0.5)=\mathbb{P}(Z\lt -1.5)=\mathbb{P}(Z\geq 1.5)=1-\mathbb{P}(Z\lt 1.5)=1-0.9332=0.0668$$

(3) Quindi $A$ invia $0,1$ con stessa probabilità, ovvero $1/2$; applico la probabilità totale:

$$\mathbb{P}(B\ decodifica\ 1)=\mathbb{P}(A\ invia\ 1)\mathbb{P}(B\ decodifica\ 1|A\ invia\ 1)+\mathbb{P}(A\ invia\ 0)\mathbb{P}(B\ decodifica\ 1|A\ invia\ 0)$$

$$=\frac{1}{2}\cdot [\mathbb{P}(B\ decodifica\ 1|A\ invia\ 1)+\mathbb{P}(B\ decodifica\ 1|A\ invia\ 0)]$$

Dobbiamo solo calcolare $\mathbb{P}(B\ decodifica\ 1|A\ invia\ 1)$ considerando che $A$ ha inviato $1$, quindi che $\mu=2$:

$$\mathbb{P}(B\ decodifica\ 1|A\ invia\ 1)=\mathbb{P}(X\geq 0.5)=\mathbb{P}(Z\geq -1.5)=1-\mathbb{P}(Z\lt -1.5)=1-\mathbb{P}(Z\gt 1.5)=$$

$$=1-[1-\mathbb{P}(Z\leq 1.5)]=\mathbb{P}(Z\leq 1.5)=0.9332$$

Si poteva anche osservare che $\mathbb{P}(B\ decodifica\ 1|A\ invia\ 1)$ è il complementare di $\mathbb{P}(B\ decodifica\ 0|A\ invia\ 1)$

Infine:

$$\mathbb{P}(B\ decodifica\ 1)=\frac{1}{2}\cdot [0.9332+0.0062]=\frac{1}{2}\cdot 0.9394=0.4697$$

(4) Calcoliamo la probabilità condizionata:

$$\mathbb{P}(A\ invia\ 1|B\ decodifica\ 1)=\frac{\mathbb{P}(A\ invia\ 1,B\ decodifica\ 1)}{\mathbb{P}(B\ decodifica\ 1)}=\frac{\mathbb{P}(B\ decodifica\ 1 | A\ invia\ 1 )\cdot \mathbb{P}(A\ invia\ 1)}{\mathbb{P}(B\ decodifica\ 1)}\simeq 0.9934$$