[Foglio 3] Esercizio 6

[Elia-Belli]

[atyion]

1) Nessun giocatore è avvantaggiato dalle regole Poiché tutti i giocatori devono effettuare lo stesso numero di round per vincere, e hanno la stessa probabilità di vincere un round.

2) 1/2^(n-1) Questo è stato un po' complicato. Sono andato per pattern recognition. Fondamentalmente la possibilità che finisca al primo round è zero, la probabilità che finisca al secondo è 11/2 = 1/2. La probabilità che finisca al terzo è 1/2 1/2 = 1/4. La possibilità che finisca al quarto è 1/4 * 1/2 = 1/8 e così via.

3) La mia risposta è sbagliata e non tiene in considerazione un numero maggiore di round 1/4 A = 1/2 (primo round vinto) 1/2 (secondo round vinto) = 1/4 B = 1/2 1/2 (uguale) = 1/4 C = 1/2 (ha vinto il secondo round) * 1/2 (ha vinto il terzo round) = 1/4

4) E' possibile. Come abbiamo visto prima, la probabilità che il round n-esimo finisca può essere molto piccolo ma mai 0.

[Elia-Belli]

Soluzione confermata in classe

• (1) I 3 giocatori hanno la stessa abilità nel gioco, infatti la probabilità di vittoria nel singolo round per qualunque giocatore è $1/2$, inoltre possiamo considerare i round eventi indipendenti. Si potrebbe pensare che facendo iniziare prima $A,B$ il giocatore $C$ sia svantaggiato, infatti $A,B$ possono vincere già al 2° round e il perdente del 1° round ha una seconda chance nel caso in cui $C$ perda al 2°, mentre $C$ può vincere nel caso migliore al 3° round e se perde non ha seconde opportunità.

• (2) $\mathbb{P}(fine\ al\ round\ 2)=1/2$ $\mathbb{P}(fine\ al\ round\ 3)=1/4$ $\mathbb{P}(fine\ al\ round\ n)=\frac{1}{2^{n-1}}$ $$\mathbb{P}(fine\ dopo\ n\ round)= \sum^{\infty}_{k=n+1}\frac{1}{2^{k-1}}$$

• (3) Il gioco è equo per $A,B$, ovvero $\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(B)$, mentre non lo è per $C$ che ci aspettiamo avrà una probabilità minore di vittoria. Osserviamo che $C$ può vincere solo in round multipli di $3$: $$\mathbb{P}(vittoria\ C)=\sum^{\infty}_{i=1}\frac{1}{2^{3i-1}}$$

  Facciamo partire la sommatoria da $0$ in modo da renderla una serie geometrica: $$-2+2\sum^{\infty}_{i=0}\frac{1}{8^i}=-2+2\cdot\frac{8}{7}=2/7$$

  Quindi $\mathbb{P}(vittoria\ C)=2/7$ Il complementare è la somma di $\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)=1-2/7=5/7$ Allora $\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(B)=5/14$

• (4) Analizziamo il caso in cui $n\rightarrow +\infty$: $$\sum^{n}_{k=2}\frac{1}{2^{k-1}}\rightarrow^{n\rightarrow \infty}0$$ Quindi all'aumentare dei round il torneo "tende" a terminare.

[Elia-Belli]

Ho dubbi sul punto (3), vi invoglio a proporre altri ragionamenti per confermare o smentire il mio. Potremmo anche mettere in dubbio la (1), ovvero che il gioco non è equo ma lo diventa al crescere di n.

[atyion]

Ho dubbi sul punto (3), vi invoglio a proporre altri ragionamenti per confermare o smentire il mio. Potremmo anche mettere in dubbio la (1), ovvero che il gioco non è equo ma lo diventa al crescere di n.

La mia risposta era sbagliata e la tua è giusta. Per i primi 3 round è giusto dire che la possibilità che nessuno vinca è di 1/4, pari a quello delle vincite dei tre giocatori. Non ho considerato il fatto che la probabilità il "draw" tende a 0 con l'aumentare del numero di round e che questa possibilità viene sparsa per i giocatori tendendo a 1/3.

[CiottoloMaggico]

Soluzione più laboriosa ma analoga a quella @Elia-Belli