[Foglio 8] Esercizio 3

[Elia-Belli]

[Elia-Belli]

Soluzione confermata in classe

• (1) Sappiamo che $X\sim Poisson(\lambda)$ è la v.a. che indica il numero di mail ricevute in un giorno, tra le $X$ email $Y$ sono spam e $Z$ sono legittime:

$$\mathbb{P}(Y=y)=\sum^\infty_{n=y}\mathbb{P}(X=n)\mathbb{P}(Y=y|X=n)=e^{-\lambda p}\cdot \frac{(\lambda p)^y}{y!}$$

$$\mathbb{P}(Z=z)=\sum^\infty_{n=z}\mathbb{P}(X=n)\mathbb{P}(Z=z|X=n)=e^{-\lambda (1-p)}\cdot \frac{(\lambda (1-p))^z}{z!}$$

Stessi calcoli dell'esercizio #81

• (2) Si osserva che $X=Y+Z$: $$\mathbb{P}(Y=y,Z=z)=\mathbb{P}(X=y+z)\mathbb{P}(Y=y,Z=z|X=y+z)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{y+z}}{(y+z)!}\binom{y+z}{y}p^y(1-p)^z=$$

$$= e^{-\lambda}\frac{(\lambda p)^y\cdot (\lambda (1-p))^z}{y!(y+z-y)!}=e^{-\lambda}\frac{(\lambda p)^y\cdot (\lambda (1-p))^z}{y!z!}$$

$$\mathbb{P}(Y=y)\mathbb{P}(Z=z)=e^{-\lambda p}\cdot \frac{(\lambda p)^y}{y!}\cdot e^{-\lambda (1-p)}\cdot \frac{(\lambda (1-p))^z}{z!} = e^{-\lambda} \frac{(\lambda p)^y\cdot (\lambda (1-p))^z}{y!z!}$$

$$\mathbb{P}(Y=y,Z=z)=\mathbb{P}(Y=y)\mathbb{P}(Z=z)\Rightarrow Y,Z\ indipendenti$$