[Foglio 8] Esercizio 8

[Elia-Belli]

[CuriousCI]

Soluzione confermata in classe

Siano $X \sim \text{Bern}(p), Y \sim \text{Bern}(p)$, e $Z = X(1 - Y), W = 1 - XY$

Consideriamo i vari casi per $Z$ e $W$

z	0	1
0	0	1
1	0	0

w	0	1
0	1	1
1	1	0

Ora si può vedere la distribuzione congiunta di $\mathbb{P}(Z=z, W=w)$, per cui bisogna vedere i 4 casi. Ad esempio $W = 0 \land Z = 0 \iff X = 1 \land Y = 1 \implies \mathbb{P}(W = 0, Z = 0) = p^2$

$\frac{W}{Z}$	0	1
0	$p^2$	$p(1-p) + (1-p)^2$
1	$0$	$p(1-p)$

Ora ricavare la distribuzione marginale è facile, basta fare la somma delle righe e delle colonne

$\frac{W}{Z}$	0	1	$W$
0	$p^2$	$p(1-p) +(1-p)^2$	$p^2 + p(1-p) + (1-p)^2$
1	$0$	$p(1-p)$	$p(1-p)$
$Z$	$p^2$	$(1-p)^2 + 2p(1-p)$

Per quanto riguarda i valori marginali, la tabella così è un po' difficile da visualizzare, quindi riscrivo le distribuzioni marginali anche per casi, ma è la stessa cosa

$$ \mathbb{P}(Z=z) = \begin{cases} p^2 + p(1-p) + (1-p)^2 & \text{se } z = 1\\ p(1-p) & \text{se } z = 0 \end{cases} = \begin{cases} p^2 - p + 1 & \text{se } z = 1\\ p(1-p) & \text{se } z = 0 \end{cases} $$

$$ \mathbb{P}(W=w) = \begin{cases} (1-p)^2 + 2p(1-p) & \text{se } w = 1\\ p^2 & \text{se } w = 0 \end{cases} = \begin{cases} 1-p^2& \text{se } w = 1\\ p^2 & \text{se } w = 0 \end{cases} $$

Sono indipendenti per $p = 0, 1$, perché in quel caso sono variabili aleatorie certe, e sono sempre indipendenti. Si dimostra che $W, Z$ non sono indipendenti per nessun altro valore. Basta considerare il caso $Z = 1, W = 0$, il prodotto deve fare $0$, e gli unici valore per cui $p(1-p)p^2 = (p - p^2)p^2 = p^3 - p^4 = p^3(1 - p) = 0$ sono $1$ e $0$