[Foglio 9] Esercizio 4

[Elia-Belli]

[cornflexxx]

Definizione di valore atteso di variabile aleatoria continua: $$\mathbb{E}(X)=\int_{-\infty}^{+\infty } xf(x)dx$$

Dove $f(x)$ indica la funzione densità della $v.a$. Consideriamo la $v.a$, $X\ge0$.

$$\mathbb{E}(X)=\int{0}^{+\infty }\mathbb{P}(X>x)dx=\int{0}^{+\infty }\int{x}^{+\infty} (f(x)dx)dx=\int{0}^{+\infty }\int{0}^{x} dx(f(x)dx)=\int{0}^{+\infty }xf(x)dx $$

[CiottoloMaggico]

Soluzione confermata in classe

Analogo alla mia soluzione #90

[Elia-Belli]

$$\int^{+\infty}_{-\infty}xf_X(x)\ dx=^{int. per\ parti}x\cdot FX(x)\Bigg|^{+\infty}_{-\infty}-\int^{+\infty}\{-\infty}F_X(x)\ dx$$

Ricordando che $F_X(x)=\mathbb{P}(X\leq x)=1-\mathbb{P}(X>x)$: $$=x\cdot FX(x)\Bigg|^{+\infty}_{-\infty}-\int^{+\infty}\{-\infty}1-\mathbb{P}(X>x)\ dx=x\cdot FX(x)-x\Bigg|^{+\infty}_{-\infty}+\int^{+\infty}\{-\infty}\mathbb{P}(X>x)\ dx$$

$$\Bigg[ \lim_{x\to +\infty}[xFX(x)-x] \Bigg] +\int^{+\infty}\{-\infty}\mathbb{P}(X>x)\ dx$$

$$0+\int^{+\infty}_{-\infty}\mathbb{P}(X>x)\ dx=^{(X\geq 0)}\int^{+\infty}_0\mathbb{P}(X>x)\ dx$$