Vytvořit vzorec pro doporučené měsíční důchodové spoření

[shippy]

To take into current income, current savings, average expected income raise, account inflation, interest rate, target age (whether user-supplied or calculated) - and any number of other factors we can come up with.

[shippy]

V rámci prvního implementačního nástřelu jsem si řekl, že první draft vzorce spíchnu sám.

Tady je v TeXu rovnice value at retirement = discounted dividend payment (obrázek):

\big(\frac{1+s}{1+i}\big)^{12(R-a)}S
+ \sum_{j={12a}}^{12R} x\big(\frac{1+s}{1+i}\big)^{j-12a}
= \sum_{j=R}^{T} D(1+i)^{j}

kde

• s je průměrný roční úrok na vkladu,
• i je průměrná roční inflace,
• a je současný věk,
• R je věk odchodu do důchodu,
• T je konečný věk,
• S jsou uspořené peníze do této chvíle,
• D je cílová měsíční dividenda po odchodu do důchodu
• a x je cílový měsíční vklad.

Vyjádřením x získám následující rovnici (obrázek):

x = \frac{\sum_{j={12R}}^{12T} D(1+i)^\frac{j}{12}
- \big(\frac{1+s}{1+i}\big)^{12(R-a)}S}
{12(R-a) \sum_{j={12a}}^{12R} \big(\frac{1+s}{1+i}\big)^{\frac{j}{12}-a}}

Rovnici jsem ještě netestoval, ale mám k ní sepsaný PHP kód v commitu 1c0d3ec4d5e509af14dd0fb80144afb515f8c3aa, který je možná přehlednější než LaTeX:

function getMonthlySavings($age_current, $age_retirement, $age_terminal,
          $rate_inflation, $rate_interest, // yearly
          $monthly_current, $monthly_desired, // income
          $savings_current) {

    $real_rate = (1+$rate_interest) / (1+$rate_inflation); // yearly

    $desired_total = 0;
    for ($i = $age_retirement; $i <= $age_terminal; $i++) {
        // counting monthly inflation for simplification // += operator adds to current value
        $desired_total += (12 * $monthly_desired * pow(1 + $rate_inflation, $i - $age_retirement));
    }

    $savings_value_at_retirement = $savings_current * pow($real_rate, $age_retirement - $age_current);

    $discounting = 0;
    for ($i = 12 * $age_current; $i < 12 * $age_retirement; $i++) {
        $discounting += pow($real_rate, $i - 12 * $age_current);
    }
    $discounting *= 12*($age_retirement - $age_current);

    return (($desired_total - $savings_value_at_retirement) / $discounting);
}

Chybí a dá se zlepšit:

• Započítat příspěvek od státu na základě současného příjmu;
• Vyjádření měsíční inflace a měsíční úrokové míry;
• Vyjádření inflation-adjusted "střední míry" měsíční úspory a cílové měsíční dividendy (v tomhle případě to je bohužel, jestli se dobře chápu, počáteční hodnota, která by se měl každý měsíc zvednout o nějaké to procento - což není úplně user-friendly).

[shippy]

Testování odhalilo, že vzorec je špatně; není mi úplně jasné, kde se stala chyba, ale někde je. Takže hlavní zlepšení je najít chybu.

[shippy]

Verze převedená na roční počítání, která dává rozumné výsledky, je následující:

S*R^{t_{work}} + \sum_{j=1}^{t_{work}} ({xR^j})
= \sum_{j=1}^{t_{retirement}} ({D(1+i)^j})

kde všechny proměnné fungují na roční bázi. Písmenka jsou stejná jako minule, jen:

• t_work = age_retirement - age_current,
• t_retirement = age_terminal - age_retirement,
• R = (1+r)/(1+i). (Real rate of interest)

Vyjádření pro požadovanou roční důchodovou dividendu je potom

x = \frac{\sum_{j=1}^{t_{retirement}} ({D(1+i)^j}) - S*R^{t_{work}}}
{t_{work}*\sum_{j=1}^{t_{work}} {R^j}}

To pořád není optimální. Issues:

• požadovaná důchodová dividenda je v Kč z roku odchodu do důchodu, ne v současných Kč. (Což se dá spravit tím, že D_real = D*(1+i)^t_work, což asi hned půjdu udělat.)
• Vzorec by bylo stále vhodné převést na měsíce (protože se tak úročí vklady).

Roční důchodová dividenda ale není špatná proměnná, takže si ji asi má smysl nechat.

[shippy]

Vytvoření odlišných rozhraní pro měsíční a roční vstupy / výpočty je jiná issue; zavírám.