前端进阶算法11：二叉查找树（BST树）

一、二叉查找树（BST树）

有的笔者也称它为二叉搜索树，都是一个意思。

二叉树本身没有多大的意义，直到有位大佬提出一个 trick。

如果我们规定一颗二叉树上的元素拥有顺序，所有比它小的元素在它的左子树，比它大的元素在它的右子树，那么我们不就可以很快地查找某个元素了吗？

不得不说这是一个非常天才的想法，于是，二叉查找树诞生了。

所以，二叉查找树与二叉树不同的是，它在二叉树的基础上，增加了对二叉树上节点存储位置的限制：二叉搜索树上的每个节点都需要满足：

左子节点值小于该节点值
右子节点值大于等于该节点值

在二叉树中，所有子节点值都是没有固定规律的，所以使用二叉树存储结构存储数据时，查找数据的时间复杂度为 O(n)，因为它要查找每一个节点。

而使用二叉查找树就不同了，例如上图，我们如果要查找 6 ，先从根节点 10 比较，6 比 10 小，则查找左子树，再与 8 比较，6 比 8 小，继续查找 8 的左子树，也就是 6，我们找到了元素，结束。

二、代码实现

function BinarySearchTree() {
  let Node = function (key) {
    this.key = key
    this.left = null
    this.right = null
  }
  let root = null

  // 插入
  this.insert = function(key){}

  // 查找
  this.search = function(key){}

  // 删除
  this.remove = function(key){}

  // 最大值
  this.max = function(){}

  // 最小值
  this.min = function(){}

  // 中序遍历
  this.inOrderTraverse = function(){}

  // 先序遍历
  this.preOrderTraverse = function(){}

  // 后序遍历
  this.postOrderTraverse = function(){}
}

插入：

首先创建一个新节点
判断树是否为空，为空则设置插入的节点为根节点，插入成功，返回
如果不为空，则比较该节点与根结点，比根小，插入左子树，否则插入右子树

function insert(key) {
  // 创建新节点
  let newNode = new Node(key)
  // 判断是否为空树
  if(root === null) {
    root = newNode
  } else {
    insertNode(root, newNode)
  }
}

// 将 insertNode 插入到 node 子树上
function insertNode(node, newNode) {
  if(newNode.key < node.key) {
    // 插入 node 左子树
    if(node.left === null) {
      node.left = newNode
    } else {
      insertNode(node.left, newNode)
    }
  } else {
    // 插入 node 右子树
    if(node.right === null) {
      node.right = newNode
    } else {
      insertNode(node.right, newNode)
    }
  }
}

最值：

最小值：树最左端的节点

最大值：树最右端的节点

// 最小值
function min() {
  let node = root
  if(node) {
    while(node && node.left !== null) {
      node = node.left
    }
    return node.key
  }
  return null
}

// 最大值
function max() {
  let node = root
  if(node) {
    while(node && node.right !== null) {
      node = node.right
    }
    return node.key
  }
  return null
}

查找：

function search(key) {
  return searchNode(root, key)
}

function searchNode(node, key) {
  if(node === null) 
    return false
  if(key < node.key) {
    return searchNode(node.left, key)
  } else if(key > node.key) {
    return searchNode(node.right, key)
  } else {
    return true
  }
}

删除：

function remove(key) {
  root = removeNode(root, key)
}

function removeNode(node, key) {
  if(node === null) 
    return null
  if(key < node.key) {
    return removeNode(node.left, key)
  } else if(key > node.key) {
    return removeNode(node.right, key)
  } else {
    // key = node.key 删除
    //叶子节点
    if(node.left === null && node.right === null) {
      node = null
      return node
    }
    // 只有一个子节点
    if(node.left === null) {
      node = node.right
      return node
    }
    if(node.right === null) {
      node = node.left
      return node
    }
    // 有两个子节点
    // 获取右子树的最小值替换当前节点
    let minRight = findMinNode(node.right)
    node.key = minRight.key
    node.right = removeNode(node.right, minRight.key)
    return node
  }
}

// 获取 node 树最小节点
function findMinNode(node) {
  if(node) {
    while(node && node.right !== null) {
      node = node.right
    }
    return node
  }
  return null
}

中序遍历：

顾名思义，中序遍历就是把根放在中间的遍历，即按先左节点、然后根节点、最后右节点（左根右）的遍历方式。

由于BST树任意节点都大于左子节点值小于等于右子节点值的特性，所以 中序遍历其实是对🌲进行排序操作 ，并且是按从小到大的顺序排序。

function inOrderTraverse(callback) {
  inOrderTraverseNode(root, callback)
}

function inOrderTraverseNode(node, callback) {
  if(node !== null) {
    // 先遍历左子树
    inOrderTraverseNode(node.left, callback)
    // 然后根节点
    callback(node.key)
    // 再遍历右子树
    inOrderTraverseNode(node.right, callback)
  }
}

// callback 每次将遍历到的结果打印到控制台
function callback(key) {
  console.log(key)
}

先序遍历：

已经实现的中序遍历，先序遍历就很简单了，它是按根左右的顺序遍历

function preOrderTraverse() {
  preOrderTraverseNode(root, callback)
}

function preOrderTraverseNode(node, callback) {
  if(node !== null) {
    // 先根节点
    callback(node.key)
    // 然后遍历左子树
    preOrderTraverseNode(node.left, callback)
    // 再遍历右子树
    preOrderTraverseNode(node.right, callback)
  }
}

// callback 每次将遍历到的结果打印到控制台
function callback(key) {
  console.log(key)
}

后序遍历：

后序遍历按照左右根的顺序遍历，实现也很简单。

function postOrderTraverse() {
  postOrderTraverseNode(root, callback)
}

function postOrderTraverseNode(node, callback) {
  if(node !== null) {
    // 先遍历左子树
    postOrderTraverseNode(node.left, callback)
    // 然后遍历右子树
    postOrderTraverseNode(node.right, callback)
    // 最后根节点
    callback(node.key)
  }
}

// callback 每次将遍历到的结果打印到控制台
function callback(key) {
  console.log(key)
}

三、BST树的局限

在理想情况下，二叉树每多一层，可以存储的元素都增加一倍。也就是说 n 个元素的二叉搜索树，对应的树高为 O(logn)。所以我们查找元素、插入元素的时间也为 O(logn)。

当然这是理想情况下，但在实际应用中，并不是那么理想，例如一直递增或递减的给一个二叉查找树插入数据，那么所有插入的元素就会一直出现在一个树的左节点上，数型结构就会退化为链表结构，时间复杂度就会趋于 O(n)，这是不好的。

而我们上面的平衡树就可以很好的解决这个问题，所以平衡二叉查找树（AVL树）由此诞生。

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