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28.Ep 21: 0alpha=O; k0=O; 若kalpha=O, 则k=0或alpha=O; (-1)alpha=-alpha; 线性子空间; 加法封闭, 数乘封闭; (2018-5-13) 29.Ep 22: 笛卡尔积; {0}可以记成O; 线性组合, 生成的子空间; 线性表出; 记号简洁了; 有解, 线性表出; (2018-5-14) 30.Ep 23: 研究线性空间和子空间的结构; 向量共线(线性相关)的代数刻画; 向量不共线(线性无关)的代数刻画; 线性相关(有非零解), 线性无关(只有零解); (2018-5-14) 31.ep 24: 线性相关和线性无关向量组; (1)alpha线性相关<=>kalpah=0; (2)部分组线性相关, 则整体相关; 若整体线性无关, 则部分线性无关; (3)含有O的任意向量组一定线性相关; (4)若线性相关, 则至少有一向量可以用其余向量线性表出; 若线性无关, 则所有向量都不能由其余向量线性表出; 命题1, 线性无关<=>表出方式唯一; (2018-5-14) 32.ep 25: 命题2, alpha线性无关, alpha, beta线性相关, 则beta可以由alpha线性表出; 极大线性无关组; 部分组线性无关, 从其余向量中任取一个填进来得到的新部分组都是线性相关; (2018-5-15) 33.ep 26: 向量组可以由向量组线性表出, 则它们等价; 命题1, 向量组与它任一极大线性无关组等价; 向量组等价的性质; (1)alpha与自身等价; (2)若alpha等价于beta, 则beta等价于alpha; (3)若alpha等价于beta, beta等价于gamma, 则alpha等价于gamma; (2018-5-15) 34.ep 27: 命题2, 向量组任意两个极大线性无关组等价; 引理1, 如果beta可以由alpha线性表出, 如果r>s, 则beta一定线性相关; 推论1, 如果beta可以由alpha线性表出, 如果beta线性无关, 则r<=s; 推论2, 等价的线性无关的两个向量组所含向量的个数相等; 推论2, 向量组alpha的任意两个极大线性无关组所含的向量的个数相等; 定义3, 向量的秩; 只含O的秩规定为0; (2018-5-15) 35.ep 28: 命题3, 向量组alpha线性无关, 则满秩; 命题4, 若向量组I可以由向量组II线性表出, 则rank(I)<=rank(II); 推论4, 等价向量组秩相等; 定义1, 有限子集线性相关<=>向量组线性相关; (2018-5-15) 36.Ep 29: 无限子集线性相关<=>有一个有限子集线性相关; 无限子集线性无关<=>任何一个有限子集都线性无关; 定义2, 基; 有序基; 空集线性无关; 定理, 任何一个数域任一线性空间都有一个基; 定义3, 有限维, 无限维; 定理2, 若V是有限维, 则V任意两个基所含向量的个数相等; (2018-5-15) 37.ep 30: 基; 推论1, 若V是无限维的, 则V的任何一个基都是无限子集; 维数, dimkV或dimV; 无限维, 无穷大; 可数, 不可数; 若dimV=n, 则任意n+1个向量都线性相关; 坐标; example 1, 几何空间中三个不共面的向量构成一个基, 因此几何空间是三维; 平面是二维, 直线是一维; (2018-5-16)
28.Ep 21: 0alpha=O; k0=O; 若kalpha=O, 则k=0或alpha=O; (-1)alpha=-alpha; 线性子空间; 加法封闭, 数乘封闭; (2018-5-13) 29.Ep 22: 笛卡尔积; {0}可以记成O; 线性组合, 生成的子空间; 线性表出; 记号简洁了; 有解, 线性表出; (2018-5-14) 30.Ep 23: 研究线性空间和子空间的结构; 向量共线(线性相关)的代数刻画; 向量不共线(线性无关)的代数刻画; 线性相关(有非零解), 线性无关(只有零解); (2018-5-14) 31.ep 24: 线性相关和线性无关向量组; (1)alpha线性相关<=>kalpah=0; (2)部分组线性相关, 则整体相关; 若整体线性无关, 则部分线性无关; (3)含有O的任意向量组一定线性相关; (4)若线性相关, 则至少有一向量可以用其余向量线性表出; 若线性无关, 则所有向量都不能由其余向量线性表出; 命题1, 线性无关<=>表出方式唯一; (2018-5-14) 32.ep 25: 命题2, alpha线性无关, alpha, beta线性相关, 则beta可以由alpha线性表出; 极大线性无关组; 部分组线性无关, 从其余向量中任取一个填进来得到的新部分组都是线性相关; (2018-5-15) 33.ep 26: 向量组可以由向量组线性表出, 则它们等价; 命题1, 向量组与它任一极大线性无关组等价; 向量组等价的性质; (1)alpha与自身等价; (2)若alpha等价于beta, 则beta等价于alpha; (3)若alpha等价于beta, beta等价于gamma, 则alpha等价于gamma; (2018-5-15) 34.ep 27: 命题2, 向量组任意两个极大线性无关组等价; 引理1, 如果beta可以由alpha线性表出, 如果r>s, 则beta一定线性相关; 推论1, 如果beta可以由alpha线性表出, 如果beta线性无关, 则r<=s; 推论2, 等价的线性无关的两个向量组所含向量的个数相等; 推论2, 向量组alpha的任意两个极大线性无关组所含的向量的个数相等; 定义3, 向量的秩; 只含O的秩规定为0; (2018-5-15) 35.ep 28: 命题3, 向量组alpha线性无关, 则满秩; 命题4, 若向量组I可以由向量组II线性表出, 则rank(I)<=rank(II); 推论4, 等价向量组秩相等; 定义1, 有限子集线性相关<=>向量组线性相关; (2018-5-15) 36.Ep 29: 无限子集线性相关<=>有一个有限子集线性相关; 无限子集线性无关<=>任何一个有限子集都线性无关; 定义2, 基; 有序基; 空集线性无关; 定理, 任何一个数域任一线性空间都有一个基; 定义3, 有限维, 无限维; 定理2, 若V是有限维, 则V任意两个基所含向量的个数相等; (2018-5-15) 37.ep 30: 基; 推论1, 若V是无限维的, 则V的任何一个基都是无限子集; 维数, dimkV或dimV; 无限维, 无穷大; 可数, 不可数; 若dimV=n, 则任意n+1个向量都线性相关; 坐标; example 1, 几何空间中三个不共面的向量构成一个基, 因此几何空间是三维; 平面是二维, 直线是一维; (2018-5-16)