8章 関手性

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関手の応用を以下の順でみる。

1. 双関手 (bifunctor) について定義する。
2. 積と余積を作る操作が双関手であることを示す。
3. Kleisli が関手であることを示す。Writer 関手を見る。
4. Reader 関手 Function1[?, A] を見る。
5. Reader 関手の bimap が定義できるかについて考える。その過程で、関手 Function1[A, ?] を見る。共変関手について定義する。
6. Profunctor を定義する。
7. Hom 関手について見る。

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双関手

• 直積圏
• 直積圏から単一の圏への関手としての双関手
• 双関手の型クラス Bifunctor

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積と余積の双関手

• タプルについての双関手のインスタンス
• 余積についての双関手のインスタンス
• Option の Bifunctor による定義 要は、Either、Cons、Id の3つの関手で関手を構成できる。

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Writer 関手

• Writer 圏の振り返り
• Writer 圏のメソッドを使った fmap の実装
• Kleisli 圏の型コンストラクタは常に関手になる

identity[Writer[A]] _ >=> の鬼門

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Reader 関手

Reader 関手も型パラメータを2つ持つので、双関手のように振る舞うのではないかという問題提起。

Reader 関手をちょっと変えた形 A → ? の形のもの（つまり Function1 の第1引数）についての fmap はどうなる？と考えることから始まる。

結果として、第1引数については共変関手を、第2引数については反変関手を考えることになる。

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Profunctor

Reader を双関手のように考えたときの一般化した概念が Profunctor である。

2つの型にただ射を適用する bimap ではなく、一方の型に双対圏の射を適用する contramap を考える。

Profunctor は、双対圏と圏の直積から集合圏への関手 C_op x D → Set として定義される。 これは、一つ目の型パラメータに対して共変であり、二つ目の型パラメータに対して反変であることを意味する。Scala 圏における型は集合ととらえることができるため、単に型クラスを実装すればよい。

Profunctor は、ends と coends を学ぶときに出てくるらしい。

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Hom 関手

ある圏の Hom 集合は、その圏における射の集まりである。これは、（局所的に小さい圏では）ただの集合ととらえてよい。

• Hom 集合の定義
• Hom 関手の定義