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Markov Random Field 可以说是马尔科夫随机链在高纬的无向图扩展。许多Early Vision的优化问题，可以通过建立MRF模型得到答案。
比如在[MRF-Based Deformable Registration and Ventilation Estimation of Lung CT]()中，作者利用MRF来进行deformable的配准。
首先我们来建立MRF的模型。
考虑两张图：标准图像I和待配准图像J，待配准图J可以表示为无向图G(V,E)，V是均匀网格的控制点。E是点与点之间的“边（可定义为点与点之间intensity的SAD距离）”。对于配准来说，目的就是移动J中的控制点d并且重新插值使得新的控制点的值与I中的控制点的像素值相差最小，并且整个图像相对应的点的值相差最小。
G(V,E)
可以形式化为求MAP的过程：
有待配准图像J用控制点表示为，同时存在一组隐藏的真实控制点,我们的目标就是让待配准图像中真实控制点的后验概率最大。
根据贝叶斯公式：
真实控制点和待配准控制点都是条件独立的，所以：
这里我们选用exp函数来表示在P点条件概率的值
这里Vp函数表示的为大于0的dp和xp的差值，exp函数将它normalize到[0,1]区间，表示条件概率。
根据Gibbs分布（GIbbs随机场和Markov随机场等价）
这里Z是normalize的参数，使得概率和为1. C是maximal clique，表示与当前点相邻的点。Vc表示的是当前点与它的相邻点的集合c之间的关系。我们只考虑直接相邻，所以
故之前MAP问题可以归结为：
我们可以将能量函数定义为求F的最小值：
这个式子满足马尔科夫性质，将全局的问题转化为只和它周围的信息相关。但是如何求解最好的x是个NP困难问题。也就是说需要逐个检验适合的x去达到最大的概率。
通常有两类常用的方法来解决MRF。一类是Graph-cut，一类是massaging passing. 首先我们将整个control point集合变成一个最小生成树。 在massaging passing中，给定p的parent节点q，p点的花费Cp可以被定义为寻找最小的f_p使得cost最小，这里的f_p表示p点的deformable parameter,fp = {u,v}, x = x0 + fp：
对于root节点来说：
找到满足的fp 使得C(f)的能量最小。
Markov Random Field 可以说是马尔科夫随机链在高纬的无向图扩展。许多Early Vision的优化问题，可以通过建立MRF模型得到答案。
比如在[MRF-Based Deformable Registration and Ventilation Estimation of Lung CT]()中，作者利用MRF来进行deformable的配准。
首先我们来建立MRF的模型。
考虑两张图：标准图像I和待配准图像J，待配准图J可以表示为无向图
G(V,E)，V是均匀网格的控制点。E是点与点之间的“边（可定义为点与点之间intensity的SAD距离）”。对于配准来说，目的就是移动J中的控制点d并且重新插值使得新的控制点的值与I中的控制点的像素值相差最小，并且整个图像相对应的点的值相差最小。可以形式化为求MAP的过程：
有待配准图像J用控制点表示为
，同时存在一组隐藏的真实控制点
,我们的目标就是让待配准图像中真实控制点的后验概率最大。
根据贝叶斯公式：
真实控制点和待配准控制点都是条件独立的，所以：
这里我们选用exp函数来表示在P点条件概率的值
这里Vp函数表示的为大于0的dp和xp的差值，exp函数将它normalize到[0,1]区间，表示条件概率。
根据Gibbs分布（GIbbs随机场和Markov随机场等价）
这里Z是normalize的参数，使得概率和为1. C是maximal clique，表示与当前点相邻的点。Vc表示的是当前点与它的相邻点的集合c之间的关系。我们只考虑直接相邻，所以
故之前MAP问题可以归结为：
我们可以将能量函数定义为求F的最小值：
这个式子满足马尔科夫性质，将全局的问题转化为只和它周围的信息相关。但是如何求解最好的x是个NP困难问题。也就是说需要逐个检验适合的x去达到最大的概率。
通常有两类常用的方法来解决MRF。一类是Graph-cut，一类是massaging passing. 首先我们将整个control point集合变成一个最小生成树。 在massaging passing中，给定p的parent节点q，p点的花费Cp可以被定义为寻找最小的f_p使得cost最小，这里的f_p表示p点的deformable parameter,fp = {u,v}, x = x0 + fp：
对于root节点来说：
找到满足的fp 使得C(f)的能量最小。