Applicative ，Manod是自函子上半幺群，形式上就无法理解

[boboyada]

Monoid: （S,M,1) M是二元运算符。 （Int，+ ，0） （Int，× ，1） 都好理解。

但Applicative ，Monad是自函子上半幺群，形式上就无法理解

比如：Maybe Int 二元运算符：是什么？ 单位元：又是什么？ 二元运算运算对象：是什么？

<*> 运算符的运算对象就不同类型，一个是包装了函数，另一个包装了数值，单位元：又是什么？

= 运算符的运算对象就不同类型，单位元：又是什么？

[winterland1989]

这句话我的书上应该是避开了的吧，没有范畴论基础的读者不大好理解，这里我来简单的帮你解释一下：

首先只有Monad是自函子上幺半群，Applicative并不是，原因在于Monad提供了join函数用来合并函子包裹（虽然默认定义了>>=，但是join可以通过>>=实现如下）：

join :: Monad m => m (m a) -> m a
join x = x >>= id 

同时Applicative是Monad的父类型类，所以Monad还具备一个添加函子包裹的操作：

return :: (Monad m) => a -> m a
return = pure

现在我们来看下这里自函子（endofunctor）的定义，自函子是一个范畴里的物体之间的函子映射，在Haskell的范畴上就意味着是Haskell的类型之间的相互映射，例如a -> Maybe a，[a] -> [[a]]等等。这个映射过程的类别在Haskell中使用* -> *来代表，你要理解return和join其实都是在对m :: * -> *进行操作，而不同于只在*上操作的幺半群。我们来看下这些操作能不能构成一个幺半群：

-- 因为我们在Haskell的范畴上，我们使用了(.)，实际上应该使用( ∘ )
-- 单位律
join . return == id
-- 结合律
join . (join . join) == (join . join) . join

实际上上面两条定律也是一个Monad实例必须满足的，这两条定律的实际意义就是：

• join . return不会改变已有的函子包裹，例如 (join . return) Just 3 == Just 3
• join合并函子包裹的顺序不应该影响最终的包裹结果，例如

x :: [[[[Int]]]]
x = [[[[1], [2,3]], [[4,5,6], [7,8,9,0]]], [[[-1], [-2,-3]], [[-4,-5,-6], [-7,-8,-9,0]]]]
join . (join . join) $ x == (join . join) . join $ x

所以我们说Monad是自函子范畴上的幺半群。切记，理解不了的时候，不要抠概念，联系实例！！！

[boboyada]

我先简单的理解和问一下： Monad下的半幺群， 1、其二元运算符是 ( ∘ ) 也即是针对函数的复合运算 2、其运算对象是 -> 的函数 3、pure id 就是这个复合运算符的单位元？好像不对，可能是return 函数，return函数是单位元

如果正确，我再往下慢慢啃：）

[winterland1989]

首先，id和(.)是可以构成幺半群的，这一点已经在base里的Endo类型上得到体现了，请认真阅读一下Endo的Monoid实例声明。

其次，你的理解不正确，幺半群Monad并不是针对*的类型而言的，而是针对类别为* -> *的自函子而言的，他的操作对象是Maybe、[]这样的自函子，这些自函子在值的层面的表现是千差万别的。这里的二元操作就是join，单位元就是return。你可以使用“洋葱”比喻来理解他们，join的作用是把两层洋葱合并，而return是添加一层不影响join的洋葱层，他们构成的幺半群只在“洋葱”比喻下成立。

最后，务必把握住范畴的概念，范畴是对一些物体和它们之间的关系的描述，这是把范畴和普通的集合区别开来的重要特征，我们关心的不只是这些物体，还有这些物体之间可以被组合的关系。Good luck!

[boboyada]

幺半群Monad并不是针对的类型而言的，而是针对类别为 -> 的自函子而言的，他的操作对象是Maybe、[]这样的自函子....... 1.其中， -> ,不就是函数的形式吗？表示需要一个入参，才能确定值的吗？ 而 -> 与 任意其它的 -> *进行运算，不就是函数之间的复合？ 2.感觉不对呀。 join :: Monad m => m (m a) -> m a 这是join的声明，这个声明，只有一个输入参数呀，即入参数为：m (m a) 输出是m a，从这里来看，根本就是一个 一元操作符呀，根本就不是二元操作符呀？

给您添麻烦了：）

[winterland1989]

麻烦你仔细理解下: 1，范畴的概念 2，类型和类别的区别。你反复地试图用Hask范畴上的物体和映射去理解这个幺半群是没有意义的。这个幺半群只在自函子的范畴上有意义。

[boboyada]

好吧。 假定join就是一个二元运算符，需要t1,t2两个参数。 如果向join提供了t1,于是join柯里化了，还需要一个参数才能被应用。 当t1是“类别 -> ，也是需要先提供前一个 ，才能得到下一个， 于是t2就由t1这个类别来提供了？ 先留个问号吧？

关于类型与类别？确实对这两个概念之间的意图和区别有了解，书上第31章 高级类型编程，有提到， 但过于简略。能否请您在此开辟一节，提提这两个概念的区别和缘由。 因为该书从头看下去，一直看到的是类型，并且在GHCI中可以使用：t x 来测试 , 还有一个:k x的测试类别。

[winterland1989]

你还是在继续试图使用Hask范畴上的物体和映射去理解，这是错误的。在Hask范畴中，物体是具体类型，映射就是函数，你脑海里的所有概念诸如参数, 函数应用都是建立在这个范畴之上的。

现在你到了自函子的范畴，请放下之前的那些概念，你要明确你此时关心的物体是自函子，映射是自函子之间的自然变幻，join之所以是二元运算是因为他可以把两层m :: * -> *合并为一层，而不是需要接受两个参数，return是单位元是因为他可以提供一层m :: * -> *，而不是因为他是一个值。

在明确范畴的概念之前，建议你停止对Monad是自函子上的幺半群这句话的研究，等到你脑海里建立起一些基本概念之后，再来看这个概念其实是非常简单的。

另外类型和类别的概念，有机会在视频里解释下吧，也欢迎你私下邮件讨论。

[boboyada]

以Maybe自函子为例 monid{ S: Maybe, Maybe[maybe], Maybe[Maybe[Maybe]]等等元素，这些元素，才是join的参数?

二元运算符:join 幺元:return }