回文子串

[xszi]

给定一个字符串，你的任务是计算这个字符串中有多少个回文子串。

具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。

示例 1：

输入："abc"
输出：3
解释：三个回文子串: "a", "b", "c"

示例 2：

输入："aaa"
输出：6
解释：6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"

提示：

• 输入的字符串长度不会超过 1000 。

leetcode

[xszi]

动态规划

一个字符串是回文串，它的首尾字符相同，且剩余子串也是一个回文串。其中，剩余子串是否为回文串，就是规模小一点的子问题，它的结果影响大问题的结果。

我们怎么去描述子问题呢？

显然，一个子串由两端的 i、j 指针确定，就是描述子问题的变量，子串 s[i...j] （ dp[i][j] ） 是否是回文串，就是子问题。

我们用二维数组记录计算过的子问题的结果，从base case出发，像填表一样递推出每个子问题的解。

    j
    a  a  b  a
i a ✅
  a    ✅  
  b       ✅
  a          ✅

注意：i<=j，只需用半张表，竖向扫描

所以：

i === j： dp[i][j]=true
j - i == 1 && s[i] == s[j]： dp[i][j] = true
j - i > 1 && s[i] == s[j] && dp[i + 1][j - 1]： dp[i][j] = true

即：

s[i] == s[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1]): dp[i][j]=true

否则为 false

代码实现：

let countSubstrings = function(s) {
  const len = s.length
  let count = 0
  const dp = new Array(len)

  for (let i = 0; i < len; i++) {
    dp[i] = new Array(len).fill(false)
  }
  for (let j = 0; j < len; j++) {
    for (let i = 0; i <= j; i++) {
      if (s[i] == s[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {
        dp[i][j] = true
        count++
      } else {
        dp[i][j] = false
      }
    }
  }
  return count
}

代码实现（优化）：

把上图的表格竖向一列看作一维数组，还是竖向扫描，此时仅仅需要将 dp 定义为一维数组即可

let countSubstrings = function(s) {
  const len = s.length
  let count = 0
  const dp = new Array(len)

  for (let j = 0; j < len; j++) {
    for (let i = 0; i <= j; i++) {
      if (s[i] === s[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1])) {
        dp[i] = true
        count++
      } else {
        dp[i] = false
      }
    }
  }
  return count;
}

复杂度分析：

时间复杂度：O(n2) 空间复杂度：O(n)