수학에서 유한체(finite field) 는 아래 성질을 만족하는 2개의 연산자 (+ 덧셈, * 곱셈) 를 가진 집합이며 그 집합의 원소 수가 유한하다는 특징이 있다.
집합의 원소 갯수가 유한하기 때문에 집합 크기를 표현하는 p 값을 정할 수 있다. 이 값을 집합의 위수(order) 라고 한다.
1. a 와 b 가 집합에 속해 있으면, a+b 와 ab 도 집합 안에 있다(집합 위에 두 연산 +, 이 닫혀 있음).
=> 1번 성질로 집합은 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있다. 그 의미는 덧셈과 곱셈 연산의 결과가 그 집합 안에 있도록 두 연산을 정의해야 한다는 뜻이다. 예를 들어 집합 {0, 1, 2} 는 덧셈에 대해 닫혀 있지 않다. 왜냐하면 1+2=3 이고 3 은 집합 안에 없기 때문이다. 반면 집합 {-1, 0, 1} 은 일반 곱셈에 대해 닫혀 있다.
cf) 현대대수 에서는 덧셈, 곱셈에 대한 정의를 다르게 만들 수 있음. 새로운 수의 체계를 배움.
2. 집합에 0으로 표기하는 원소가 존재하고 집합 내 다른 원소 a 와 + 연산 결과는 a 다. 즉 a+0=a (+ 연산에 대한 항등원 존재)
3. 집합에 1로 표기하는 원소가 존재하고 집합 내 다른 원소 a 와 연산 결과는 a 다. 즉 `a1=a` (* 연산에 대한 항등원 존재)
4. 집합의 원소 a 와 + 연산 결과가 0 이 되게 하는 원소 b 가 역시 집합에 속해 있고 이러한 b 를 -a 로 표기한다 (+ 연산에 대한 a 의 역원 -a 존재)
5. 0 이 아닌 집합의 원소 a 에 대해 a*b=1 이 되게 하는 원소 b 가 역시 집합에 속해 있고 이러한 b 를 $a^{-1}$ 로 표기한다. (* 연산에 대한 a 의 역원 $a^{-1}$ 존재).
수학에서 유한체(finite field) 는 아래 성질을 만족하는 2개의 연산자 (+ 덧셈, * 곱셈) 를 가진 집합이며 그 집합의 원소 수가 유한하다는 특징이 있다.
집합의 원소 갯수가 유한하기 때문에 집합 크기를 표현하는 p 값을 정할 수 있다. 이 값을 집합의 위수(order) 라고 한다.
1. a 와 b 가 집합에 속해 있으면, a+b 와 ab 도 집합 안에 있다(집합 위에 두 연산 +, 이 닫혀 있음).
=> 1번 성질로 집합은 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있다. 그 의미는 덧셈과 곱셈 연산의 결과가 그 집합 안에 있도록 두 연산을 정의해야 한다는 뜻이다. 예를 들어 집합
{0, 1, 2}는 덧셈에 대해 닫혀 있지 않다. 왜냐하면1+2=3이고 3 은 집합 안에 없기 때문이다. 반면 집합{-1, 0, 1}은 일반 곱셈에 대해 닫혀 있다.cf) 현대대수 에서는 덧셈, 곱셈에 대한 정의를 다르게 만들 수 있음. 새로운 수의 체계를 배움.
2. 집합에 0으로 표기하는 원소가 존재하고 집합 내 다른 원소 a 와 + 연산 결과는 a 다. 즉
a+0=a(+ 연산에 대한 항등원 존재)3. 집합에 1로 표기하는 원소가 존재하고 집합 내 다른 원소 a 와 연산 결과는 a 다. 즉 `a1=a` (* 연산에 대한 항등원 존재)
4. 집합의 원소 a 와 + 연산 결과가 0 이 되게 하는 원소 b 가 역시 집합에 속해 있고 이러한 b 를
-a로 표기한다 (+ 연산에 대한 a 의 역원-a존재)5. 0 이 아닌 집합의 원소 a 에 대해
a*b=1이 되게 하는 원소 b 가 역시 집합에 속해 있고 이러한 b 를 $a^{-1}$ 로 표기한다. (* 연산에 대한 a 의 역원 $a^{-1}$ 존재).=> 유한체에서는 나눗셈을 정의하는 것이 가장 까다로움.