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目前的想法是:3 应该是最直接、最简单的想法,可以很形象且初等地表出(一个余维数 1 的子空间);4 应该是最为严谨的写法,可能可以在更新多项式一讲时加以补充,则可在此直接引用
注意,可以用可数个方体覆盖 $\mathbf{R}^n$,且 Lebesgue 测度可数可加,所以不妨在单位方体上考虑问题(注意可数可加性,昨晚有人脑子进水卡在这了)
当然,下面的证明好像不依赖于这一点……
记 $Z_i$ 为余秩 $r \geqslant i$ 的矩阵,我们表明:
这个证明类比了 Sard 定理的证明,实际上这就对应了实解析函数在某种意义上的“有限性”,并且绕过了 Fubini 定理(某种意义上可以看成应用了它的一个特殊形式,如果想的话,也可以用覆盖定理把它也绕过去)。
引人联想的是,这是不是和 Grassmann 流形有点像,或许可以从这个角度想想……
在当前版本的第 587 页,有如下叙述:
这里的零测性需要一个更加精确且初等的描述方式,暂时有的想法是:
目前看来 4 是更适合我们的方法,这可能需要一些前置(代数学基本定理 + Fubini 定理). 下面是一些不太初等,但可能有启发的思路:
其中 1 可能和上面的 4 可以建立联系.