Análisis Matemático - CBC

Organización

Diagrama de Gantt con las secciones según las semanas.

Libros

• Infinite Powers: How Calculus Reveals the Secrets of the Universe - Steven Strogatz
• Mathematics: Its Content, Methods and Meaning - Aleksandrov, Kolmogorov, Lavrent'ev
• Modeling Life: The Mathematics of Biological Systems - Alan Garfinkel, Jane Shevtsov, Yina Guo
• The Joy of x: A Guided Tour of Math, from One to Infinity - Steven Strogatz
• The Grapes of Math: How Life Reflects Numbers and Numbers Reflect Life - Alex Bellos
• The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century - Jeremy Gray

Ejes ordenadores:

• Aplicación: los conceptos deben estar aplicados a ejemplos prácticos familiares
• Actualizacion en la presentación (libro online, videos manim https://github.com/3b1b/manim, simulaciones online parametrizadas)
• Contexto histórico de cuando y para que se crearon los diferentes conceptos

Temario

• Basis de funciones:
  • Caja negra: metes algo, sale algo (con imagenes como esto https://adit.io/posts/2013-04-17-functors,_applicatives,_and_monads_in_pictures.html)
    • Ejemplos de la vida real (pagina 73 kolmogorov).
    • Notacion.
    • Ejemplos de cosas que andan mal.
    • Contraejemplos, no se puede poner un zapato en una funcion que calcula cuadrado.
  • Conjuntos (book of proof, richard hammack).
    • Qué es un conjunto.
    • Complemento, interseccion, union.
    • Notacion.
    • Intervalos, abierto, cerrado, etc.
    • Conjuntos fundamentales.
  • Funciones:
    • Definicion formal.
    • Dominio.
    • Codominio.
    • Imagen.
    • Preimagen.
    • Clasificacion de funciones.
  • Funciones elementales:
    • Exponencial. COVID/crecimiento poblacional/Decaimientos nucleares, datación de objetos.
    • Lineal. Gradiente atmosférico, velocidad, etc.
    • Trigonométricas. Alterna, péndulo, etc.
    • Aplicación. Dominio. Características.
  • Plot de funciones mostrar la suma y operaciones:
    • Ejempos: Corriente alterna, péndulo.
  • Explicar para qué se usan.
  • Composición de funciones.
  • Mostrar dominio:
    • Usar sliders para mostrar como se modifican las funciones elementales con los parametros.
  • Exponencial: hablar de bernouilli y la historia.
    • Modelo de decaimientos nucleares. isotopos radioactivos con carbono 14.
  • Funciones trigonometricas:
    • Superposición de ondas.
  • Funciones sobre los naturales: sucesiones (ej: Fibonacci, Babilónica) y series (trailer).
  • Caracterización de funciones:
    • Acotada. Máximos, Mínimos, globales y locales.
    • Monótona creciente y decreciente.
• Limites
  • Partir de sucesiones (límite asintótico).
  • Limite de funciones.
• Continuidad.
• Derivadas.
  • Concepto.
  • Derivadas de funciones elementales.
  • Visualizacion geometrica.
  • Definición con limite.
  • Ejemplo:
    • Estabilidad termodinámica (una aplicación de derivadas segundas, análisis de funciones, etc).
  • Regla de L'Hôpital.
  • Minimización/maximización de funciones:
    • Elección de lote óptimo para minimizar el costo.
    • Tamaño óptimo de un equipo de procesos (por ejemplo, una columna de destilación).
    • Ajuste por cuadrados mínimos de una función simple.
  • Concavidad y convexidad de secciones del dominio en una función.
  • Polinomio de Taylor y aproximación de funciones.
  • Newton Raphson y ecuaciones no lineales.
  • Regla de la cadena.
• Integrales.
  • Intuición por acumulación. Visión informal de las sumas de Riemmann. Historia, Arquímides.
  • Teorema Fundamental del Cálculo.
  • Regla de Barrow.
  • Métodos de resolución de integrales:
    • Sustitución. Inversa de regla de la cadena.
    • Integración por partes. Inversa del producto de la derivada.
    • Fracciones Simples. Método general (no solo para integrales).
  • Interpretación geométrica de la integral (área bajo la curva).
  • Ejemplos de aplicaciones de Integral.
• Ecuaciones Diferenciales.
  • Motivación: ver la sección de Computational Thinking.
  • Lineales y no lineales en los parámetros.
  • Qué es la solución de una ecuación diferencial. Ejemplos de Física, MRU, Péndulo, Crecimiento exponencial.
• Sucesiones y Series.
  • Criterios de convergencia (Cauchy, D'Alambert).
  • Series de Potencias?
• Serie de Taylor y su utilizacion en ec. dif:
  • Ejemplo de pendulo y angulos/equilibrio.
  • Diferencias finitas.

Fuentes

• The real and the complex: a history of analysis in the 19th century - Jeremy Gray.
• Foundation of applied mathematics - SIAM.
• Introduction to computational thinking Julia https://computationalthinking.mit.edu/Fall20/
• Matrix Methods in Data Analysis, Signal Processing, and Machine Learning - Strang: https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-065-matrix-methods-in-data-analysis-signal-processing-and-machine-learning-spring-2018/
• Calculus with Julia https://juliahub.com/docs/CalculusWithJulia/AZHbv/0.0.5/
• Oliver Knill (Harvard) http://people.math.harvard.edu/~knill/teach/index.html - http://people.math.harvard.edu/~knill/teaching/math1a2020/
• Mathematics, its content, methods and meaning - Aleksandrov, Kolmogorov and Lavrent.

Colaboración

Para añadir o modificar el contenido de los apuntes, las instrucciones se encuentran en CONTRIBUTING.md.