[Chapter 11] taylor series

[Linjiayu6]

泰勒级数 Taylor series 泰勒级数是数学中 极其强大的函数近似工具 泰勒级数的几何意义? 泰勒级数: 理解是什么? 用了它能干啥? 好处是啥? 如何用多项式去模拟? converges 收敛 和 diverges 发散

1. approximation 近似

• 一个函数 可以用一个函数(多项式方式) 模拟, 靠近, 近似。
• 好处是: 这个多项式, 好计算, 好求导, 好积分。

2. 例子 cos(x)

思考, 是什么多项式能让cos(x) 和 该多项式近似它呢?

2.1 如何找到这个多项式呢?

如何找到多项式能让图像和cos(x) 差不多重合?

多项式: $P(x) = c0 + c1x + c2x^2$

(1) 数值相同: 固定某点 c0

(2) 导数相同: 让斜率在该点相同 c1

(3) 二阶导数相同: 弯曲程度相似 c2

值c0相同，变化率c1相同，变化率的变化率c2相同

2.2 接下来

当然你用三阶求导数, 继续往下面模拟...

2.3 总结

2.3.1 阶数 和 多项式常量

如果是 2阶的导数, 是 $c2x^2$ 导数为 $c2 2 1$ 如果是 3阶的导数, 是 $c3x^3$ 导数为 $c3 3 2 1$ 多项式: n阶导数的话, 就是 $n! cn$ 原函数n阶导数为 X: $X = n! * cn$ $cn = X / n!$

2.3.2 不同阶间不互相干扰

取值x=0的时候,其他高阶项有值得话, 是0掉了

2.3.3 如果想换个坐标原点

3. 泰勒多项式 taylor polynomial

3.1 泰勒多项式

当x=0时候, n阶导数值 / 除以 n! 多项式, 每一项解读是: f(0) 让值相同 df/dx(0) 让斜率相同 d^2f/dx^2(0) 让斜率的变化率相同 ...

如果想接近0点之外的值, 例如a点, 就用x-a来改写多项式

3.2 $e^x$ 例子

因为$e^x$ 无论多少阶, 导数都是$e^x$, 当x=0, 值都是1 $e^x$的泰勒多项式就是:

4. geometric view 几何意义 ！！！

一定要自己拿笔过一遍

这就是泰勒公式的几何意义

5. converges 收敛 和 diverges 发散

5.1 第二个例子 - diverges发散求解

$f(x) = ln(x)$ 只能在(0, 2] 区间内求解, x > 2 后面无论如何都无法收敛, 所以叫发散