[Chapter 5] exponentials

[Linjiayu6]

指数函数 exponentials 指数关系 $2^x$ $3^x$ 求导 e: 常数 $e^x$ 的导数?

d($e^x$)/dx = $e^x$

2 = e^ln2 = 9^$\log_9{2}$

1. $2^x$ 求增量关系

1.0 前言

M(t) = 2的t次幂 从t=3到t=4: 增加了8个 = 2的3次幂 从t=4到t=5: 增加了16个 = 2的4次幂

所以你可以简单的得到一个结论是

这个思路是对的, 但也不全对

为什么这么说呢? 是因为, 我们定义的dt = 1, 一整天的数据. 我们考虑的是dt是极小的值

1.1 通过计算找关系

通过推导: 最后得到 右侧最后一个图内容

1.2 dt值越小, 越逼近一个常量

这个常量是什么?

表格: 虽然我们已知该增量模式, 但是是在t=1的情况下, 我们需要dt, 越来越小的情况, 求增率

1.3 $2^8$? 常数项间什么关系?

常数项是三倍的关系

导数= a的t次幂 * 某常数(some constant)

从前面能得到一个结论是: 当时一个完整一天时候, 导数直接为自己; 又或者是和自己成比例

2. e约2.71828...

* e非常独特, f(t) = e的t次幂, 导数还是e的t次幂; 即: f(t)的斜率, 都是它自己

• 例如: t = 1, e, 斜率还是e
• t = 2, e的2次幂, 斜率是e的2次幂

推导公式I

• t -> 3t -> e的3t次幂
• dt变化 -> d(3t) 变化 -> d(e的3t次幂) 变化

推导公式II

tips: 非常重要 rule

无论什么值, 都是这样

y(x) = $2^x$最后推导的过程 !!!