[Chapter 8] integrals

[Linjiayu6]

integrals 积分 积分: 求导的逆运算 integrals: the inverse of derivatives = antiderivative 积分下限: the lower bound of integral 积分: 所有小量都'积累'在一起 (integrate them) 微积分基本定理 ** 理解为什么 导数函数f(x)区间曲线面积 = 原函数F(x)区间高度只差

1. antiderivative

1.1 例子

开车: 你只能看你的车速表, 不能看外面的景色。 车开了, 加速=>减速=>停下来 共8s。 问题: 有没有什么好办法? 你只看车速表就知道行驶距离?

1.2 antiderivative

未知函数y(x), 但已知dy/dx 该未知函数的导数, 用derivative 反推 y(x)

1.3 思考

1.3.1 匀速?

• 如果是辆匀速行驶的车, 非常的好理解了。行驶的距离 = 速度(匀速) * 时间
• 正好也是该图像下的矩形的面积

1.3.2 一段段匀速呢?

现实情况下, 不存在已知匀速状态, 那如果是一段段匀速呢?, 就是1-2s, 匀速5m/s, 2-3s, 匀速7m/s, 固定速度不连续的蹦几个台阶。

• 把每一段都看做是近似于真实的值, 分割的所有长方形都加和。
• 当你分的dt, 越小时候, 值约趋向于精确。

1.3.3 非常重要

引出积分概念

2. integral

积分: 所有小量都'积累'在一起 (integrate them)

在上面#1讲到汽车🚗 速度, 求解路径问题。不过是找v(t)曲线下面积的问题而已。

但是你要知道, 在图像上, 如何计算图形下方的面积，是解决问题的常见的工具。

2.1 接着说🚘事儿

2.2 解题, 有一个问题?

导数为: $8t - t ^ 2$ 反导数 = 原函数 为: $4t^2 - (1/3)t^3$

【但是】 $4t^2 - (1/3)t^3$ $4t^2 - (1/3)t^3 + 2$ $4t^2 - (1/3)t^3 + 200$

这个几个函数的导数 都是$8t - t ^ 2$ 疑问常数的导数永远都是0

所以实际上, 该导数有无数个原函数

怎么办?，请看## 2.3 继续

2.3 如何解决#2.2问题?

积分下线: the lower bound of the integral

3. 微积分基本定理

积分: 这些小矩形的和的极限, 把他们所有值都累积起来(integrate them)

对于原函数来说: 你只需要关注积分的[上限][下限]

4. recap

1. 如果你只有车上的仪表盘, 知道8s后从开启到停下, 但如何知道车走了多远?

2. 假设: 你的车是匀速行驶 v(t) = 4m/s. s(t) = 4 * 8 = 32m

3. 假设: 你的车是阶段性匀速行驶, 例如#1.3.2所描述的(0-1s, 匀速4m/s, 1-2s,匀速6m/s, 2-3s, 匀速7m/s ...)。s(t) = 每一段距离的加和

4. 如果你将t = 1s分割再减少, t = 0.01s, 的时候, 每个分割都是匀速; 或dt limit-> 0, 每个分割都是匀速。如此就更接近真实的值。

5. 整个过程就是 $v(dt) * dt$ 之和. 所以对于v(t)来说, 曲线下的面积就是车车行驶的距离。

6. $dS(dt) / dt = v(dt)$ 因为v(t)是S(t)的导数/斜率, 对于某段[0-8s]行驶的距离计算, 对于S(t)来说就是S(8) - S(0)间的高度只差

对于每个dt分割来说, 你能推导出来: $ds / dT = v(T)$

(1) 将导数 反推至 原函数

(2) 可能存在无数个原函数?

例如: ## 2.2 解题, 有一个问题? 描述的

(3) 积分下限解决(2)问题

5. negative area (signed area有符号面积)

最后啰嗦一句, 负面积的问题

x轴下面是负面积, 对于该例子来说, 车先往前走 => 后来又倒退了回去 => 后又往前走。

如果你想知道: 车从启动到停止走过的距离, 就需要将-(负值)计算到里面。