[Chapter 9] finding average of a continuous variable

[Linjiayu6]

面积和斜率间有什么联系 常见问题: 求一个连续函数的平均值 Finding average of a continuous variable 或者你理解成: 求一个曲线的平均值? 概率 常出现 导数、逆导数、积分、斜率

平均数: 所有数据之和 / 个数

1. average?

1.1 如何求解一段连续函数的平均值? 或者理解为求一段曲线的平均值?

[你可能想到的方法是] 将所有值都加起来 / 值得个数 = 平均高度

1.2 recap integral

1.3 继续 #1.1

1.3.1 思考I

1.3.2 思考II 结合上述例子

1.3.3 结论

这个图非常的关键: 图像下面积 和 一个函数的斜率有关?

2. 图像下面积 和 一个函数的斜率有关?

• 上述例子 求平均值 = 原函数(-cos(x)) 在区间取值的变化 / 区间的长度

导数sin(x) 是 原函数-cos(x) 在每个点上的斜率表示

所以 sin(x)的平均值 = 是原函数从x到pi所有切线斜率的平均值

那在该区间内的所有切线平均斜率 = 起点和终点连线的斜率

3. 总结

3.1 通过例子总结

在一段连续曲线上, 求平均数?

非常重要: [a,b]区间内, 导数函数f(x)的积分(曲线下面积) = 原函数F(x)高度差, 去看上面推导 求解曲线平均值的方法

非常重要: 导数函数f(x), 是F(x)的导数表达式, 曲线平均值 = 也就是原函数导数/斜率的平均值

f(x) 是原函数F(x) 在每一个点切线的斜率表示。 f(x) 是 F(x)的导数

3.2 为什么原函数是解决积分问题的关键呢?

3.2.1 有限个数的均值?

1,5,4,2 求这4个数的平均值 $Average = (1 + 5 + 4 + 2) / 2$

3.2.2 求一个连续变量的平均? - !!! 从有限个数推广到连续变量的均值问题

问题: 连续变量, 也就是无穷个数量的话，如何求解平均值?

解决: 转换为求解另一个函数各点切线的平均斜率。只需要考虑, 起点和终点的值, 不需要考虑中间任何一点

积分求解, 该问题大多是在概率中出现的多